Modélisation et Contrôle d'un Pendule Inversé

Figure: Free-body diagram for the inverted pendulum.

Dans cet article, nous dérivons les équations du mouvement pour un pendule inversé monté sur un chariot en utilisant l’approche lagrangienne. Le système se compose d’un chariot de masse \(m_\text{cart}\) qui peut se déplacer horizontalement et d’un pendule de masse \(m\) attaché par une tige rigide de longueur \(l\). L’angle du pendule \(\theta\) est mesuré à partir de la verticale.

1. Énergie Cinétique

L’énergie cinétique totale est la somme de l’énergie cinétique du chariot et de celle du pendule.

1.1. Énergie Cinétique du Chariot

L’énergie cinétique du chariot est donnée par :

\[\begin{align} K_\text{cart} = \frac{1}{2} m_\text{cart} \dot{x}^2, \label{K_cart} \end{align}\]

où \(x\) est la position horizontale du chariot.

1.2. Énergie Cinétique du Pendule

La position de la masse du pendule \(m\) peut être exprimée comme suit :

\[\begin{align} x_m = x + l \sin\theta, \quad y_m = l \cos\theta. \end{align}\]

En prenant les dérivées temporelles, nous obtenons :

\[\begin{align} \dot{x}_m = \dot{x} + l\dot{\theta}\cos\theta, \quad \dot{y}_m = -l\dot{\theta}\sin\theta. \end{align}\]

Ainsi, l’énergie cinétique du pendule est :

\[\begin{align} K_m &= \frac{1}{2} m \left(\dot{x}_m^2 + \dot{y}_m^2\right) \notag \\ &= \frac{1}{2} m \Bigl[\bigl(\dot{x} + l\dot{\theta}\cos\theta\bigr)^2 + \bigl(-l\dot{\theta}\sin\theta\bigr)^2\Bigr] \notag \\ &= \frac{1}{2} m \left[\dot{x}^2 + 2l\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta + l^2\dot{\theta}^2\left(\cos^2\theta + \sin^2\theta\right)\right] \notag \\ &= \frac{1}{2} m \left[\dot{x}^2 + 2l\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta + l^2\dot{\theta}^2\right]. \label{K_m} \end{align}\]

En combinant \eqref{K_cart} et \eqref{K_m}, l’énergie cinétique totale est :

\[\begin{align} K &= K_\text{cart} + K_m \notag \\ &= \frac{1}{2} m_\text{cart} \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left[\dot{x}^2 + 2l\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta + l^2\dot{\theta}^2\right]. \end{align}\]

2. Énergie Potentielle

Pour ce système, seul le pendule contribue à l’énergie potentielle gravitationnelle. En prenant la direction verticale vers le haut comme positive, l’énergie potentielle du pendule est :

\[\begin{align} P_m = mgy_m = mgl\cos\theta. \end{align}\]

Note : Le choix du niveau de référence pour l’énergie potentielle est arbitraire, et la dynamique reste inchangée par une constante additive.

3. La Fonction Lagrangienne

Le Lagrangien est défini comme la différence entre les énergies cinétique et potentielle :

\[\begin{align} \mathcal{L} &= K - P \notag \\ &= \frac{1}{2} m_\text{cart} \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m \left[\dot{x}^2 + 2l\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta + l^2\dot{\theta}^2\right] - mgl\cos\theta. \end{align}\]

Nous choisissons les coordonnées généralisées :

\[\begin{align} \mathbf{q} = \begin{bmatrix} x \\ \theta \end{bmatrix}. \end{align}\]

4. Dérivation des Équations du Mouvement

En utilisant l’équation d’Euler-Lagrange pour chaque coordonnée \(q_i\) :

\[\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = Q_i, \end{align}\]

où \(Q_i\) représente les forces généralisées. Ici, une force externe \(F\) est appliquée au chariot (affectant \(x\)), tandis qu’il n’y a pas de couple externe sur \(\theta\).

4.1. Équation pour \(x\)

Tout d’abord, calculons la dérivée par rapport à \(\dot{x}\) :

\[\begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} = (m_\text{cart}+m)\dot{x} + ml\dot{\theta}\cos\theta. \end{align}\]

La dérivée temporelle donne :

\[\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\right) &= (m_\text{cart}+m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta}\cos\theta - ml\dot{\theta}^2\sin\theta. \end{align}\]

Comme \(\mathcal{L}\) ne dépend pas explicitement de \(x\) :

\[\begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0. \end{align}\]

Ainsi, l’équation d’Euler-Lagrange pour \(x\) devient :

\[\begin{align} (m_\text{cart}+m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta}\cos\theta - ml\dot{\theta}^2\sin\theta = F. \label{final_eq_1} \end{align}\]

4.2. Équation pour \(\theta\)

Ensuite, calculons la dérivée par rapport à \(\dot{\theta}\) :

\[\begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}} = ml\dot{x}\cos\theta + ml^2\dot{\theta}. \end{align}\]

Sa dérivée temporelle est :

\[\begin{align} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}\right) = ml\left(\ddot{x}\cos\theta - \dot{x}\dot{\theta}\sin\theta\right) + ml^2\ddot{\theta}. \end{align}\]

La dérivée partielle par rapport à \(\theta\) est :

\[\begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta} = -ml\dot{x}\dot{\theta}\sin\theta + mgl\sin\theta. \end{align}\]

Ainsi, l’équation d’Euler-Lagrange pour \(\theta\) (sans couple externe) est :

\[\begin{align} ml\left(\ddot{x}\cos\theta - \dot{x}\dot{\theta}\sin\theta\right) + ml^2\ddot{\theta} + ml\dot{x}\dot{\theta}\sin\theta - mgl\sin\theta = 0. \end{align}\]

Remarquez que les termes \(- ml\dot{x}\dot{\theta}\sin\theta\) et \(+ ml\dot{x}\dot{\theta}\sin\theta\) s’annulent, permettant de simplifier l’équation ci-dessus en :

\[\begin{align} ml\ddot{x}\cos\theta + ml^2\ddot{\theta} - mgl\sin\theta = 0. \label{final_eq_2} \end{align}\]

5. Modèle Dynamique Final

En rassemblant les résultats, le modèle dynamique du pendule inversé sur un chariot est donné par :

\[\begin{align} (m_\text{cart}+m)\ddot{x} + ml\ddot{\theta}\cos\theta - ml\dot{\theta}^2\sin\theta &= F, \quad \text{(de \eqref{final_eq_1})}\\ ml\ddot{x}\cos\theta + ml^2\ddot{\theta} - mgl\sin\theta &= 0. \quad \text{(de \eqref{final_eq_2})} \end{align}\]

Ces équations décrivent la dynamique couplée du chariot et du pendule. Elles constituent la base d’analyses ultérieures et de la conception de commandes pour stabiliser le pendule inversé.