Điều khiển phân cấp sử dụng các quan hệ mô phỏng xấp xỉ

Tóm tắt bài báo

Bài báo (Girard & Pappas, 2006) giới thiệu một khung điều khiển phân cấp cho các hệ thống phức tạp bằng cách xấp xỉ chúng bằng các mô hình đơn giản hơn, tạo điều kiện thuận lợi cho việc thiết kế bộ điều khiển. Trung tâm của phương pháp này là các khái niệm về quan hệ mô phỏng xấp xỉ (approximate simulation relations), xác định mức độ bám sát của các đầu ra \(\mathbf{y}\) và \(\mathbf{y}'\) của hệ thống cụ thể \(\Sigma\) và hệ thống trừu tượng \(\Sigma'\). Các mối quan hệ này được xây dựng bằng cách sử dụng các hàm mô phỏng (simulation functions), là các hàm dương giới hạn sự khác biệt giữa các đầu ra của hai hệ thống và đảm bảo rằng các giới hạn này không tăng trong quá trình tiến hóa song song của chúng.

Kiến trúc của khung bao gồm hai lớp chính: hệ thống cụ thể (concrete system) \(\Sigma\), đại diện cho mô hình chi tiết và phức tạp của đối tượng, và hệ thống trừu tượng (abstract system) \(\Sigma'\)¹, một mô hình đơn giản hóa được đặc trưng bằng cách sử dụng các quan hệ mô phỏng xấp xỉ để đơn giản hóa việc thiết kế điều khiển tại Bộ điều khiển hệ thống trừu tượng. Các lớp này được kết nối thông qua một giao diện điều khiển (control interface), giúp tổng hợp các đầu vào điều khiển cho hệ thống cụ thể.

**Figure:** Architecture of the controller.

Xem xét một bài toán điều khiển cho hệ thống cụ thể với các thuộc tính bất biến (invariance) và khả năng đạt tới (reachability) cụ thể. Phần III chứng minh rằng kiến trúc điều khiển đề xuất đảm bảo rằng đầu ra \(\mathbf{y}\) của \(\Sigma\) thỏa mãn các thuộc tính mong muốn này, miễn là đáp ứng các điều kiện sau:

\(\Sigma'\) là một hệ thống con xấp xỉ hoàn chỉnh của \(\Sigma\) với độ chính xác \(\delta\), nghĩa là đối với mọi trạng thái ban đầu \(\mathbf{x}_0\) của \(\Sigma\), tồn tại một trạng thái ban đầu tương ứng \(\mathbf{z}_0\) của \(\Sigma'\) sao cho, bắt đầu từ các điều kiện ban đầu này, các đầu ra được giới hạn, nghĩa là \(\|\mathbf{h}(\mathbf{x}) - \mathbf{k}(\mathbf{z})\| \leq \delta\) cho mọi \(t \geq 0\);²
\(\Sigma'\) thỏa mãn các thuộc tính bất biến và khả năng đạt tới trong một lề an toàn \(\delta\).

Phương pháp này được minh họa thông qua một ứng dụng trong điều khiển chuyển động của robot. Các tác giả đã sử dụng mô hình động học bậc nhất của robot làm \(\Sigma'\) để xấp xỉ mô hình động lực học bậc hai của robot, được coi là \(\Sigma\). Sử dụng hàm mô phỏng được đề xuất trong Mệnh đề 4.1, các điều kiện và độ chính xác mà \(\Sigma'\) trở thành một hệ thống con xấp xỉ hoàn chỉnh của \(\Sigma\) được tính toán dưới dạng hàm của các giới hạn trên \(\|\mathbf{u}\|\) và \(\|\mathbf{v}\|\), như được trình bày chi tiết trong Định lý 4.3. Cuối cùng, ứng dụng của kiến trúc này cho các robot tự hành được khám phá trong phần sau của bài báo, cho thấy tính thực tế và hiệu quả của nó.³

Các đánh giá về điều khiển phân cấp dựa trên quan hệ mô phỏng xấp xỉ

Trong (Kurtz et al., 2020), kiến trúc được thể hiện trong Hình 1 đã được mở rộng để tính đến các nhiễu trong hệ thống cụ thể bằng cách giới thiệu Hàm mô phỏng bền vững (Robust Simulation Function) và Quan hệ mô phỏng xấp xỉ bền vững (Robust Approximate Simulation Relation). Sau đó, trong (Wooding et al., 2023), một hàm giao diện cho các nhiễu đã được tích hợp vào cùng một kiến trúc, cho phép hệ thống trừu tượng xử lý các nhiễu đáng kể trong hệ thống cụ thể. Xây dựng trên nền tảng này, (Firouzmand et al., 2024) đã kết hợp một bộ quan sát để ước tính trạng thái của hệ thống cụ thể, cho phép các Quan hệ mô phỏng xấp xỉ bền vững mở rộng (Extended Robust Approximate Simulation Relations) cho các hệ thống tuyến tính.

Nghiên cứu về các hệ thống điều khiển phân cấp cũng đã phát triển theo các hướng khác. Trong (Yang & Ji, 2017), các hàm mô phỏng vector đã được sử dụng để phân tích các hệ thống điều khiển phân cấp quy mô lớn. Trong khi đó, (Tang & Hong, 2012) đã khám phá điều khiển phân cấp cho một lớp các hệ thống phi tuyến bằng cách sử dụng các quan hệ mô phỏng xấp xỉ. Công việc này đã được mở rộng cho các hệ thống đa tác tử phân tán trong (Tang & Wang, 2018) và được áp dụng xa hơn cho cân bằng Nash của các hệ thống đa tác tử phân tán trong (Tang & Yi, 2023).

Bình luận

Kiến trúc điều khiển phân cấp dựa trên các quan hệ mô phỏng xấp xỉ đưa ra một góc nhìn thú vị, chủ yếu vì nền tảng của tôi là về điều khiển quá trình, nơi điều khiển phân cấp thường được coi là một cấu trúc đa tầng hoạt động ở các thang thời gian khác nhau (xem (Scattolini, 2009)). Trong bối cảnh đó, mỗi tầng thường tập trung vào việc điều khiển một hệ thống con hơn là giải quyết việc điều khiển và trừu tượng hóa hệ thống cụ thể như được trình bày trong bài báo (Girard & Pappas, 2006).

Tài liệu tham khảo

Girard, Antoine and Pappas, George J., "Hierarchical Control Using Approximate Simulation Relations", , 2006. DOI.
Kurtz, Vince and Wensing, Patrick M. and Lin, Hai, "Robust Approximate Simulation for Hierarchical Control of Linear Systems under Disturbances", , 2020. DOI.
Wooding, Ben and Lavaei, Abolfazl and Vahidinasab, Vahid and Soudjani, Sadegh, "Robust Simulation Functions with Disturbance Refinement", , 2023. DOI.
Firouzmand, Elnaz and Talebi, H.A. and Sharifi, Iman, "Hierarchical Control of Linear Systems Using Extended Robust Approximate Simulation", European Journal of Control, 2024. DOI.
Yang, Kaihong and Ji, Haibo, "Hierarchical Analysis of Large-Scale Control Systems Via Vector Simulation Function", Systems and Control Letters, 2017. DOI.
Tang, Yutao and Hong, Yiguang, "Hierarchical Control Design of Nonlinear Systems Based on Approximate Simulation", , 2012. DOI.
Tang, Yutao and Wang, Xinghu, "Optimal Output Consensus for a Class of Uncertain Nonlinear Multi-Agent Systems", , 2018. DOI.
Tang, Yutao and Yi, Peng, "Nash Equilibrium Seeking for High-Order Multiagent Systems with Unknown Dynamics", IEEE Transactions on Control of Network Systems, 2023. DOI.
Scattolini, Riccardo, "Architectures for distributed and hierarchical Model Predictive Control – A review", Journal of Process Control, 2009. DOI. Link.

Chú thích

Phương pháp đặc trưng cho hệ thống trừu tượng \(\Sigma'\) trong bối cảnh các hệ thống tuyến tính \(\Sigma\) được trình bày chi tiết trong một bài báo tiếp theo của tác giả (Girard & Pappas, 2009). ↩
Độ chính xác \(\delta\) có thể được tính từ hàm mô phỏng bằng phương trình (6) trong (Girard & Pappas, 2006). ↩
Tôi đã cố gắng tái hiện các kết quả mô phỏng, có sẵn tại liên kết này: Google Colab ↩